균등분포의 일반성 부분의 강의중에

 p(X<= x) = p(F^-1 (u) <= x)  p(X<=x)=p(F​−​​1(u)<=x) 에서  $p(u<=F(x))$ 으로 넘어갈때

cdf가 강한 증가함수고 연속이라서 부등호 방향이 안바뀌는건 이해가 가는데

그게 확률값이 같음을 보장하긴 어렵지 않나요? 

예를 들면 y = 2x인 함수라고 하면 1 < 3과 2 < 6은 부등호 방향이 변하지 않는건 맞지만

p( 1 < x < 3 ) 과 p(2 < 2x < 6)의 확률까지 같다는 보장은 어떻게 해주죠?

이것에 대한 증명을 이해할만한 참고할 문서같은게 있나요?